Questão comentada CFAQ e CAAQ: fatoração / equação exponencial
Enunciado
Se 44 a ∙46 b ∙69 c ∙99 d =2024, então a+b+c+d é igual a:
Alternativas
- A) 2
- B) 4
- C) 6
- D) 8
- E) 10
Resolução comentada
Vamos fatorar cada base em primos e comparar com a fatoração de 2024.
🔹 Passo 1 — fatorar cada número
- 44 = 2² × 11
- 46 = 2 × 23
- 69 = 3 × 23
- 99 = 3² × 11
- 2024 = 2³ × 11 × 23
🔹 Passo 2 — escrever o produto com expoentes
44^a · 46^b · 69^c · 99^d = 2^(2a+b) · 3^(c+2d) · 11^(a+d) · 23^(b+c)
🔹 Passo 3 — comparar com a fatoração de 2024
Como 2024 não tem fator 3, devemos ter c + 2d = 0, logo c = 0 e d = 0.
🔹 Passo 4 — resolver para a e b
- Expoente de 2: 2a + b = 3
- Expoente de 11: a + d = a = 1 → a = 1
- Expoente de 23: b + c = b = 1 → b = 1
🔹 Passo 5 — calcular a soma
a + b + c + d = 1 + 1 + 0 + 0 = 2.
Resposta: 2 — alternativa A